آموزش انتگرال

نوع فایل:ورد تعداد صفحات:31

تمرینات

14-1-1 می خواهیم تابع (به صورت عبارت درجه دوم انتگرال پذیر) را به کمک یک سری فوریه متناهی نمایش دهیم. معیار مناسبی برای دقت سری به کمک انتگرال مربع انحراف برقرار زیر به دست می آید.

نشان دهید که شرط کیمنه شدن یعنی:

به ازای همه مقادیرn، به انتخاب an و bn به صورتی که در معادله های (14-11) و (14/12) داده شده است، می انجامد.

پاسخ

به همین ترتیب خواهیم داشت:

که برای رسیدن به روابط فوق از روابط تعامد (14-7) و (14-8) و (14-9) استفاده کرده ایم.

14-1-2 در بررسی یک شکل موج پیچیده (کشنده های اقیانوسی، زمین لرزه ها، نوارهای موسیقی و مانند آنها) بهتر است. از سری فوریه ای به صورت زیر بهره گیریم.

نشان دهید که این معادله با معادله (14-1) هم ارز است و در آن

پاسخ: قبلاً سری فوریه را به صورت زیر تعریف کرده بودیم.

سری فوریه جدیدی که در نظر گرفته بودیم به صورت زیر قابل بسط دادن است.

در صورتی که داشته باشیم:

روابط I و I I هم ارز هستند.

14-1-3 تابع را به صورت یک سری فوریه نمایی بسط داده ایم.

اگر حقیقی باشد، ، چه قیدی روی ضرایب وضع می شود.

پاسخ:

14-1-4 با فرض اینکه و متناهی اند، نشان دهید که

پاسخ:

وقتی میل می کند cosmx و sinmx مقدار معینی ندارند در نتیجه برای اینکه حاصل انتگرال مقدار معینی داشته باشد باید داشته باشیم.

14-1-5 شگرد مجموعه یابی این بخش را به کار بندید و نشان دهید.

به شکل 14-2 مراجعه کنید.

پاسخ:

که به ازای مطلقاً همگراست. دستور العمل ما به این ترتیب است که تلاش کنیم از طریق تبدیل توابع مثلثاتی به توابع نمایی، سری توانی تشکیل دهیم.

چنانچه باشد خواهیم داشت.

14-1-6 مجموع سری مثلثاتی زیر را به دست آورید.

و نشان دهید که این مجموع برابر است.

پاسخ:

14-1-7 مجموع سری مثلثاتی زیر را به دست آورید.

و نشان دهید که برابر است با

با استفاده از بسط مقابل، رابطه بالا را ساده می کنیم.

لینک منبع و پست :http://campiran.ir/project-114217-%d8%a2%d9%85%d9%88%d8%b2%d8%b4-%d8%a7%d9%86%d8%aa%da%af%d8%b1%d8%a7%d9%84/